Ο Σπύρος Γαληνός γεννήθηκε στην Αθήνα τον Μάρτιο του 1952 και μεγάλωσε στη Μυτιλήνη. Ανέπτυξε πλούσια αθλητική δραστηριότητα ως κολυμβητής και ως παίκτης του πόλο στο Ναυτικό Όμιλο Μυτιλήνης (ΝΟΜ).
Το 1990, το 1994 και το 1998 εξελέγη δημοτικός σύμβουλος Μυτιλήνης. Το 2002 εξελέγη νομαρχιακός σύμβουλος αναλαμβάνοντας καθήκοντα αντινομάρχη.
Το 2009 εξελέγη βουλευτής Μυτιλήνης, Λήμνου και Αϊ-Στράτη, με το κόμμα της Νέας Δημοκρατίας.
Τον Ιούνιο 2013 εξελέγη γενικός γραμματέας των Ανεξάρτητων Ελλήνων. Στο πλαίσιο της υποψηφιότητάς του για τη δημαρχία του Δήμου Λέσβου, παραιτήθηκε της θέσης στην οποία βρισκόταν. Τον Μάιο του 2014 εκλέχθηκε δήμαρχος Μυτιλήνης.
Ο Σπύρος Γαληνός ήταν γιος του ήρωα της Εθνικής Αντίστασης και επί σειρά ετών βουλευτή Μίμη Γαληνού. Ήταν παντρεμένος με την Ελένη Γαλετάκη με την οποία είχαν αποκτήσει δύο γιούς.